मान लीजिए [.] महत्तम पूर्णांक फलन है। यदि int | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{e^{x-1}} = e^{1-x}$। हमें समाकलन $I = \int_0^{e^3} [f(x)] dx$ का मूल्यांकन करना है।फलन $f(x) = e^{1-x}$ एक ह्रासमान फलन

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$8$

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(A) मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{e^{x-1}} = e^{1-x}$। हमें समाकलन $I = \int_0^{e^3} [f(x)] dx$ का मूल्यांकन करना है।फलन $f(x) = e^{1-x}$ एक ह्रासमान फलन है।$x=0$ पर,$f(0) = e^1 \approx 2.718$ है।$x=1$ पर,$f(1) = e^0 = 1$ है।$x=1+\ln 2$ पर,$f(1+\ln 2) = e^{1-(1+\ln 2)} = e^{-\ln 2} = \frac{1}{2} = 0.5$ है।चूंकि $f(x)$ घट रहा है,हम वे अंतराल ज्ञात करते हैं जहाँ $[f(x)]$ स्थिर है:$x \in [0, 1-\ln 2)$ के लिए,$f(x) \in (2, e]$,इसलिए $[f(x)] = 2$ है।$x \in [1-\ln 2, 1)$ के लिए,$f(x) \in [1, 2)$,इसलिए $[f(x)] = 1$ है।$x \in [1, e^3]$ के लिए,$f(x) \in (0, 1]$,इसलिए $[f(x)] = 0$ है।अतः,$I = \int_0^{1-\ln 2} 2 dx + \int_{1-\ln 2}^1 1 dx + \int_1^{e^3} 0 dx$ है।$I = 2(1-\ln 2 - 0) + 1(1 - (1-\ln 2)) + 0$ है।$I = 2 - 2\ln 2 + \ln 2 = 2 - \ln 2$ है।दिया गया है कि $I = \alpha - \ln 2$,इसलिए $\alpha - \ln 2 = 2 - \ln 2$,जिसका अर्थ है कि $\alpha = 2$ है।अतः,$\alpha^3 = 2^3 = 8$ है।

मान लीजिए $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है। यदि $\int_0^{e^3}\left[\frac{1}{e^{x-1}}\right] d x=\alpha-\log _e 2$ है,तो $\alpha^3$ का मान . . . . . . है।

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